question

ouverte

sur une

formule










Dans un livre de mathématiques (qui date de mon adolescence) je trouve une formule qui permet de calculer la hauteur d'un triangle quelconque.





Voici donc la formule:





Application de cette formule avec l'exemple du triangle quelconque ABC ci-dessous:

- AB = 10, BC = 4 et AC = 8
- il faut calculer h



Calcul du demi-périmètre:

• (10 + 4 + 8) / 2 = 11

Calcul de la racine carrée:

• 11(11-10)(11-4)(11-8) = 231
• racine carrée de 231 = 15,198

Calcul de la hauteur h:

• 2/10 x 15,198 = 3,04
• la hauteur est égale à 3,04

On peut vérifier par une mesure sur le dessin du triangle.

On peut également vérifier par la trigonométrie: la hauteur h étant le côté opposé de l'angle A (22,4°) d'un triangle rectangle AHC dont l'hypothénuse est donc AC (qui vaut 8).



Calcul (pour vérification):

• sinus(A)=hauteur/hypothénuse
• sinus(22,4°) = h/8
• 0,381 = h/8
• h = 0,381 x 8
• h = 3,04
• la vérification est faite!

Et maintenant, voici ma question (car je n'ai pas la réponse, et peut-être, l'avez-vous?):

Une formule, en mathématique ou en géométrie, est issue d'un raisonnement logique.

Quel est le raisonnement logique de la formule proposée ici qui utilise le demi-périmètre (et pas seulement) d'un triangle pour y calculer une hauteur?

Quel est donc ce raisonnement?

Comment démontrer cette formule?:



Si vous savez justifier cette formule, contactez-moi, s'il vous plait.

 Note: la méthode qui fait intervenir la trigonométrie est limpide.






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