la loi

des cosinus

par le théorème

d'al-Kashi










Le théorème d'al-Kashi (mathématicien et astronome perse né vers 1380 et mort en 1429) permet de généraliser le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles (donc à tous les triangles).

--==O==--

Voici l'explication en images et commentaires.



Soit un triangle quelconque ABC:



La hauteur depuis le sommet C divise le triangle quelconque en 2 triangles rectangles:

- le triangle BHC, rectangle en H et ayant a comme hypoténuse,

- le triangle AHC, rectangle en H et ayant b comme hypoténuse.

Le côté c, devient le côté c1 pour le triangle rectangle BHC et devient le côté c2 pour le triangle rectangle AHC (c1+c2=c).

Ce qui donne:



L'objectif est de calculer le côté a (ou BC).



Démonstration:

Application du théorème de Pythagore sur le triangle rectangle BHC:

• a² = h²+c1²

Et sur le triangle rectangle AHC:

• b² = h²+c2²

qui peut également s'écrire:

• h² = b²-c2²

donc:

• a² = h²+c1²

devient:

• a² = b²-c2²+c1²

Puis, comme:

• c = c1+c2

peut aussi s'écrire:

• c1 = c-c2

donc:

• a² = b²-c2²+c1²

devient:

• a² = b²-c2²+(c-c2)²

qui se développe:

• a² = b²-c2²+c²-2c.c2+c2²

puis se simplifie:

• a² = b²+c²-2c.c2

Sachant que:

• cos(BAC) = c2/b

peut aussi s'écrire:

• c2 = b.cos(BAC)

a² devient alors:

• a² = b²+c²-2c.b.cos(BAC)

ou encore (résultat final):

• a² = b²+c²-2bc.cos(BAC)

--==O==--

Vérification:

• BC = a = ?
• AC = b = 16,21
• AB = c = 20

• BAC = 70°
• ABC = 46,5°
• ACB = 63,5°

(résultat attendu: a = 21)

• a² = b²+c²-2bc.cos(BAC)

• cos(70°) = 0,34202

• 2bc.cos(BAC) = 221,76576

• a² = 262,76+400-221,76576

• a² = 440,99 = 441

• √(441) = 21

• a est bien égal à 21

--==O==--

Deux remarques:

1) Dans l'exemple ci-dessus, l'angle BAC est égal à 70°.

Si l'angle BAC avait été égal à 90° (angle droit), son cosinus aurait été égal à 0 (cos(90) = 0) ...

et l'expression:

• a² = b²+c²-2bc.cos(BAC)

aurait alors été:

• a² = b²+c²-0

soit:

• a² = b²+c²

qui est l'application du théorème de Pythagore.

--==O==--

2) Cas d'un triangle quelconque avec l'angle BAC obtu (plus grand que 90°):



Démonstration:

• a² = h²+(c+c2)²

• b² = h²+c2²

• donc h² = b²-c2²

• donc a² = b²-c2²+(c+c2)²

• a² = b²-c2²+c²+2c.c2+c2²

• a² = b²+c²+2c.c2

• cos(CAH) = c2/b

• donc -cos(BAC) = c2/b (*)

• donc c2 = -b.cos(BAC)

• donc a² = b²+c²-2c.b.cos(BAC)

• donc a² = b²+c²-2bc.cos(BAC)

... exactement comme dans le premier exemple.

--==O==--

Vérification:

• BC = a = ?
• AC = b = 16,21
• AB = c = 20

• BAC = 110°
• ABC = 30,81°
• ACB = 39,19°

(résultat attendu: a = 29,74)

• cos(110°) = -0,342

• 2bc.-0,342 = -221,7528

• a² = 16,21²+20²-(-221,7528)

• a² = 262,7641+400+221,7528
     = 884,5169

• √(884,5169) = 29,74

• a est bien égal à 29,74

--==O==--

(*) Note: 2 angles sont dits supplémentaires quand leur somme fait 180 degrés (angle plat). Dans ce cas, leurs cosinus sont opposés:



--==O==--

Synthèse:

Dans un triangle quelconque, à condition de connaître la dimmension de 2 côtés et la mesure de l'angle opposé au côté recherché, le théorème de Al Kashi propose les 3 formules suivantes:

• calcul du côté a:

a = √(b²+c²-2bc.cos(BAC))

• calcul du côté b:

b = √(a²+c²-2ac.cos(ABC))

• calcul du côté c:

c = √(a²+b²-2ab.cos(ACB))








• • •
• •
•