le
paradoxe
de
Simpson
paradoxe
de
Simpson
Histoire de pommes ...
Un maraîcher a protégé ses deux vergers contre la grêle. Au moment de la récolte et juste après un très violent orage, il décide de tenir des statistiques sur une journée entière afin de vérifier quel verger était le mieux protégé.
Il constate (voir ci-dessous) que dans le premier verger, sur 325 pommes cueillies ou ramassées, 112 sont commercialisables (soit 34%). Dans le second verger, sur 1017 pommes cueillies ou ramassées, 524 sont commercialisables (soit 52%).
Il retourne l'après-midi dans ses deux vergers. Il constate (voir ci-dessous) que dans le premier verger, sur 1099 pommes cueillies ou ramassées, 794 sont sont commercialisables (soit 72%). Dans le second verger, sur 798 pommes cueillies ou ramassées, 599 sont commercialisables (soit 75%).
Il dit à son épouse: "Au regard des statistiques (voir ci-dessous), mon deuxième verger est mieux protégé car les pourcentages des pommes commercialisables (52% et 75%) sont plus importants que ceux du premier verger (34% et 72%)!"
Sa femme, professeur de mathématiques, lui répond qu'il devrait également calculer les pourcentages sur le total de la journée.
Il obtempère. Ce qui donne alors les résultats suivants (ci-dessous):
"Oh ça alors!", dit-il, "le total indique que c'est le premier verger qui est le mieux protégé (64% au lieu de 62% pour le second)! Comment est-ce possible? Surtout que je n'ai commis aucune faute dans mes calculs."
Son épouse lui répond aussitôt: "C'est le paradoxe de Simpson!".
Thomas Simpson (1710-1761) est un mathématicien anglais, autodidacte.
"Peux-tu m'expliquer, s'il te plaît, pourquoi un tel paradoxe?"
--- E X P L I C A T I O N ---
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Ce paradoxe est due à une confusion:
--- Exemple ---
• 2/3 + 1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6 = 117%
• (2+1)/(3+2) = 3/5 = 60%
Dans le premier cas (117%), il s'agit de la somme de deux fractions (il a donc fallu les mettre au même dénominateur).
Dans le deuxième cas (60%), il s'agit d'une fraction entre deux sommes et non pas la somme de deux fractions.
Dans l'exemple des statistiques sur les vergers, la ligne "total de la journée" est la fraction (ou le rapport) entre les chiffres du matin et ceux de l'après-midi et non pas la somme de leurs rapports.
Donc, pour le premier verger, le "total de la journée" consiste à calculer:
(12+794)/(325+1099) = 906/1424 = 64%
et non pas:
(12/325) + (794/1099) =
(123088/357175) + 258050/357175) =
381138/357175 = 106%
Note: 106% est bien la somme des deux rapports (34% et 72%) mais n'est pas le rapport recherché.
--- Conclusion (rappel) ---
Ce paradoxe est due à une confusion.
Ne pas confondre:
et
→ fraction de deux sommes ←
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