une propriété
dans la suite
de
Fibonacci
Rappel: une suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.
Ci-dessous est représentée une suite de Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... sur 30 itérations, et donc jusqu'au terme 1346269.
Les 30 termes ont été décomposés en 3 groupes de 10. Et sur l'image apparaît le total de chaque groupe.
On constate alors, que la somme de chaque groupe est le septième terme du groupe multiplié par 11:
• 21 * 11 = 231
• 2584 * 11 = 28424
• 317811 * 11 = 3495921
Et ce n'est pas fini ...
Même constat avec 2 nombres pris au hasard. Par exemple 27 et 17. En les faisant suivre en une suite de Fibonacci, on obtient ...
• terme 01: 27
• terme 02: 17
• terme 03: 44
• terme 04: 61
• terme 05: 105
• terme 06: 166
• terme 07: 271
• terme 08: 437
• terme 09: 708
• terme 10: 1145
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total: 2981
... et de constater que 2981 (le total des 10 termes) est 271 (le septième terme) multiplié par 11.
Autre exemple avec 3 et 7 ...
• terme 01: 3
• terme 02: 7
• terme 03: 10
• terme 04: 17
• terme 05: 27
• terme 06: 44
• terme 07: 71
• terme 08: 115
• terme 09: 186
• terme 10: 301
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total: 781
... et de constater, là encore, que 781 (le total des 10 termes) est 71 (le septième terme) multiplié par 11.
Conclusion: pour toute section de 10 termes dans une suite de Fibonacci, le total de cette section est égal à 11 fois le septième terme (voir ci-dessous).
Comment expliquer cette propriété?
Soit la suite 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
• terme 01: 1 (= x)
• terme 02: 2 (= y)
• terme 03: 3 (= 1x + 1y)
• terme 04: 5 (= 1x + 2y)
• terme 05: 8 (= 2x + 3y)
• terme 06: 13 (= 3x + 5y)
• terme 07: 21 (= 5x + 8y)
• terme 08: 34 (= 8x + 13y)
• terme 09: 55 (= 13x + 21y)
• terme 10: 89 (= 21x + 34y)
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total: 231 55x 88y
• donc 231 = 55x + 88y (*)
• et 55x + 88y = 11*(5x + 8y)
• or (5x + 8y) est le terme 7
• donc 231 = 11 fois le terme 7
(*) Note:
x = 1+1+1+2+3+5+8+13+21 = 55
y = 1+1+2+3+5+8+13+21+34 = 88
Autre exemple (voir l'image ci-dessous) avec la suite 10, 1, 11, 12, 23, 35, ... (sur 13 termes) ...
A noter que les valeurs de x et y sont toujours les mêmes quelles que soient les suites (voir image ci-dessous):
Il y a d'autres propriétés dans la suite de Fibonacci (non traitées dans cette page) comme le "nombre d'or", par exemple ...
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