une propriété

dans la suite

de

Fibonacci










Rappel: une suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.

Ci-dessous est représentée une suite de Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... sur 30 itérations, et donc jusqu'au terme 1346269.





Les 30 termes ont été décomposés en 3 groupes de 10. Et sur l'image apparaît le total de chaque groupe.

On constate alors, que la somme de chaque groupe est le septième terme du groupe multiplié par 11:

• 21 * 11 = 231
• 2584 * 11 = 28424
• 317811 * 11 = 3495921

Et ce n'est pas fini ...

Même constat avec 2 nombres pris au hasard. Par exemple 27 et 17. En les faisant suivre en une suite de Fibonacci, on obtient ...

terme 01:     27
terme 02:     17
terme 03:     44
terme 04:     61
terme 05:    105
terme 06:    166
terme 07:    271
terme 08:    437
terme 09:    708
terme 10:   1145
              ----
total:        2981

... et de constater que 2981 (le total des 10 termes) est 271 (le septième terme) multiplié par 11.

Autre exemple avec 3 et 7 ...

terme 01:      3
terme 02:      7
terme 03:     10
terme 04:     17
terme 05:     27
terme 06:     44
terme 07:     71
terme 08:    115
terme 09:    186
terme 10:    301
               ---
total:         781

... et de constater, là encore, que 781 (le total des 10 termes) est 71 (le septième terme) multiplié par 11.

Conclusion: pour toute section de 10 termes dans une suite de Fibonacci, le total de cette section est égal à 11 fois le septième terme (voir ci-dessous).





Comment expliquer cette propriété?

Soit la suite 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

terme 01:      1 (= x)
terme 02:      2 (= y)
terme 03:      3 (=  1x +  1y)
terme 04:      5 (=  1x +  2y)
terme 05:      8 (=  2x +  3y)
terme 06:     13 (=  3x +  5y)
terme 07:     21 (=  5x +  8y)
terme 08:     34 (=  8x + 13y)
terme 09:     55 (= 13x + 21y)
terme 10:     89 (= 21x + 34y)
               ---    ---   ---
total:         231    55x   88y

• donc 231 = 55x + 88y (*)
• et 55x + 88y = 11*(5x + 8y)
• or (5x + 8y) est le terme 7
• donc 231 = 11 fois le terme 7

(*) Note:
    x = 1+1+1+2+3+5+8+13+21 = 55
    y = 1+1+2+3+5+8+13+21+34 = 88

Autre exemple (voir l'image ci-dessous) avec la suite 10, 1, 11, 12, 23, 35, ... (sur 13 termes) ...




A noter que les valeurs de x et y sont toujours les mêmes quelles que soient les suites (voir image ci-dessous):









Il y a d'autres propriétés dans la suite de Fibonacci (non traitées dans cette page) comme le "nombre d'or", par exemple ...




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