c'est
l'histoire
d'un
cycliste qui
grimpe un col
l'histoire
d'un
cycliste qui
grimpe un col
Dans cette "histoire" de cycliste seront abordés progressivement les sujets suivants:
• les vitesses
• les fonctions (courbes)
• les matrices
Note: dans cette page l'exposant d'une puissance peut apparaître de 2 façons: x² ou x^2 (signifi-cation identique).
Un cycliste grimpe un col de 30 kilomètres.
Equipé d'un ordinateur (fixé au guidon), il enregistre le temps écoulé chaque fois qu'il a parcouru 10 km.
Ainsi, au bout de 10 kilomètres, il enregistre le temps écoulé depuis le départ: 20 minutes.
Au bout de 20 kilomètres, il enregistre le temps écoulé depuis le départ: 50 minutes.
Et au bout de 30 kilomètres, à l'arrivée, il enregistre le temps écoulé depuis le départ: 90 minutes.
Rentré chez lui, le cycliste souhaite étudier ses perfor-mances.
Il reporte sur un repère ortho-normé les 3 enregistrements (voir image ci-dessous):
• Enregistrement #1 = point A:
20 minutes --> 10 km
• Enregistrement #2 = point B:
50 minutes --> 20 km
• Enregistrement #3 = point C:
90 minutes --> 30 km
Au regard du graphique (ci-dessus), il décide de calculer qu'elle fut sa vitesse pour parcourir les 30 kilomètres.
• Du départ au point C:
(règle de 3)
90 mn --> 30 km
1 mn --> 30 km /90
60 mn --> 30 km /90 * 60 mn
30/90*60 = 1/3*60 = 20 km/h
Cependant, il remarque en regardant le graphique que sa vitesse ne fut pas constante. Il caclule donc sa vitesse entre chaque point (tous les 10 km).
• Du départ au point A:
10/20*60 = 1/2*60 = 30 km/h
• Entre les points A et B:
10/30*60 = 1/3*60 = 20 km/h
• Entre les points B et C:
10/40*60 = 1/4*60 = 15 km/h
Et soudain, il est pensif!
• (30+20+15)/3 = 21,66 km/h
• 21,66 est différent de 20
Pourquoi?
C'est un mauvais raisonnement.
Calculer une moyenne consite à diviser la somme de plusieurs termes par le nombre de termes. Quand les termes sont des vitesses (donc des rapports entre distance et temps) le facteur temps doit intervenir dans le cacul de la moyenne.
Pour vérifier ses calculs, il peut faire la somme de chaque vitesse proportionnellement au temps et constater que cette somme est bien égale à 20 km/h:
• 2/9 du parcours est à 30 km/h
• 3/9 du parcours est à 20 km/h
• 4/9 du parcours est à 15 km/h
Vérification:
• (2/9)30+(3/9)20+(4/9)15 = 20
Le résultat 20 correspondant bien aux 20 km/h de la totalité (9/9) du parcours.
En regardant son graphique, il constate que l'enregistrement de ses données (vitesses et temps) a le profil d'une ligne brisée et non pas d'une courbe.
Autrement dit, il voudrait lisser cette ligne brisée car dans la réalité les données évoluent progressivement et non pas subitement.
Comment alors, se dit-il, vais-je calculer l'expression d'une courbe à partir de 3 points connus?
Ici, les 3 points connus sont A, B et C par lesquels passe la ligne brisée de son graphique (voir ci-dessous).
Les coordonnées de A sont:
2 en x et 1 en y
Les coordonnées de B sont:
5 en x et 2 en y
Les coordonnées de C sont:
9 en x et 3 en y
Et donc ...
• le point A --> a(2;1)
• le point B --> b(5;2)
• le point C --> c(9;3)
... sont les 3 points d'une courbe de l'équation du 2e degré du modèle:
Et soudain, il est pensif!
Il faut commencer par réviser ses cours de lycée et se rappeler ce qu'on appelle une fonction (voir les 3 images ci-dessous):
En conséquence, on peut calculer séparément pour chaque point (a, b et c) la valeur de y à partir de la valeur de x sur le modèle ...
Il faut maintenant résoudre le système à 3 équations ...
Et soudain, il est pensif!
Aussi, décide-t-il d'ajouter un point passant par zéro. Et ainsi sur le modèle
• le point A --> a(0;0)
• le point B --> b(2;1)
• le point C --> c(5;2)
• le point D --> d(9;3)
Et il recommence ses calculs avec 4 points (et non plus 3 points):
Résoudre un système à 4 équations est laborieux et donc source d'erreurs. Aussi, se rappelle-t-il que dans pareil cas les mathématiques offrent un outil bien pratique: les matrices!
Une matrice est un tableau de données liées entre elles. Le tableau de données devient un objet mathématique: on manipule alors les matrices, lesquelles matrices manipulent les données qui y sont contenues. Si vous voulez en savoir plus sur les matrices, vous pouvez cliquer sur le bouton "voir" (ci-dessous, juste après un exemple de cette introduction aux matrices).
Conclusion: après avoir monter un col, ce cycliste est descendu dans le monde des mathématiques pour traverser le domaine des interpolations non-linéaires avec matrices.
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