Prenez un nombre à 4 chiffres, n'importe lequel: 3728 par exemple.

Triez les 4 chiffres en ordre décroissant (du plus grand au plus petit). Ce qui donne: 8732.

Triez les 4 chiffres en ordre croissant (du plus petit au plus grand). Ce qui donne: 2378.

Soustrayez au premier nombre (8732) le deuxième nombre (2378). Ce qui donne:

8732 - 2378 = 6354

Avec le résultat obtenu (6354), reproduisez le raisonnement (algo-rithme de Kaprekar) ci-dessus et ainsi de suite.

On obtiendra alors les opérations suivantes (depuis le début avec l'exemple 3728):



Quelque soit le nombre à 4 chiffres choisi au départ, nous obtiendrons toujours (*) au bout de quelques itérations le nombre 6174.

(*) sauf pour les 10 nombres comprenant quatre chiffres iden-tiques: 0000, 1111, 2222, ..., 9999.


Voici quelques exemples:


























Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) fut un mathématicien indien célèbre pour ses recherches sur la théorie des nombres. L'encyclopédie en ligne Wikipedia consacre plusieurs rubriques à ce brillant mathématicien.





Actuellement, il semblerait qu'aucun mathématicien ne puisse donner une explication claire sur le pourquoi de ce fait.

On peut cependant faire un premier constat: il existe parmi les dix mille nombres de 0000 à 9999, un seul nombre (6174) à partir duquel le nombre 7641 (qui est composé des quatre chiffres positionnés dans l'odre du plus grand au plus petit) auquel on soustrait le nombre 1467 (qui est composé des quatre chiffres positionnés dans l'odre du plus petit au plus grand) donne comme résulat ce même nombre (6174).

Autrement dit ...

  Soit le nombre 6174:

  • 6174 -> 7641 (après tri +/-)

  • 6174 -> 1467 (après tri -/+)

  • 7641 - 1467 = 6174


Le lien ci-dessous permet de télé-charger un PDF (attention: il fait 201 pages) que j'ai réalisé à partir d'une table Excel dans laquelle j'avais fait dérouler l'algorithme de Kaprekar pour la totalité des nombres (de 0001 à 9998).

En conséquence de quoi, deux autres constats sont intéressants:

1) il faut 7 itérations maximum pour tomber sur le nombre 6174 (presque 80% à la 6ème itération et donc 100% à la 7ème itération);

2) il y a 384 nombres qui tombent sur le nombre 6174 dès la 1ère itération de l'algorithme comme, par exemple, 2006 ou 3751 ou 7241: ,

- le nombre 2006:

  • 2006 -> 6200 (après tri +/-)

  • 2006 -> 0026 (après tri -/+)

  • 6200 - 0026 = 6174

- le nombre 3751:

  • 3751 -> 7531 (après tri +/-)

  • 3751 -> 1357 (après tri -/+)

  • 7531 - 1357 = 6174

- le nombre 7241:

  • 7241 -> 7421 (après tri +/-)

  • 7241 -> 1247 (après tri -/+)

  • 7421 - 1247 = 6174