des

cubes en bois

pour des

carrés en maths






























SOMME DES CARRÉS

D'UNE SUITE DES NOMBRES ENTIERS DE 1 À N





Explication d'une formule

La formule pour calculer la somme des carrés d'une suite des nombres entiers de 1 à n est la suivante:

• (voir image ci-dessous)

--=O=--

Une petite démonstration avec de simples cubes permet très aisément de comprendre comment la formule a été élaborée (ci-après, en plusieurs étapes).


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La construction ci-dessous est réalisée avec un cube (orange) monté sur 4 cubes (brun) montés sur 9 cubes (vert) montés sur 16 cubes (bleu).

Sachant que:

• le cube (orange) = 1²

• les 4 cubes (brun) = 2²

• les 9 cubes (vert) = 3²

• les 16 cubes (bleu) = 4²

Ces cubes matérialisent:

la somme des carrés de 1 à n avec, pour l'exemple, n = 4


02






Les cubes sont regroupés sur une base de n sur n+1 cubes (donc 4 sur 5).


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Le jeu constitué de 30 cubes (1²+2²+3²+4²=30) est dupliqué.


04






On obtient ainsi un bloc de 2 fois 30 cubes.


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Un troisième, et dernier, jeu de 30 cubes est constitué ...


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... pour former un bloc de 90 cubes.

Ainsi, ce bloc comprend donc:

3 fois la suite 1²+2²+3²+4²


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On peut procéder à un nivellement des 10 cubes du haut car ils occupent la moitié de la surface (20 cubes).

Ainsi, ces 10 cubes deviennent 20 demi-cubes.


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En conséquence, les dimensions du bloc final sont:

• bloc final = 4 sur 5 sur 4+(1/2)

Comme 4 = n, on peut donc écrire:

bloc final = n * n+1 * n+(1/2)


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C O N C L U S I O N

Le bloc final est constitué de 3 fois la suite 1²+2²+3²+n²,

et comme ce bloc a pour dimensions n, n+1 et n+(1/2),

en conséquence, on peut écrire:

3*(1²+2²+3²+n²) = n*(n+1)*(n+(1/2))

et comme n+(1/2) = (2n/2)+(1/2) = (2n+1)/2

alors:

                     n*(n+1)*(2n+1)
• 3*(1²+2²+3²+n²) = ----------------
                           2

ou encore (en divisant les 2 termes par 3):

                 n*(n+1)*(2n+1)
1²+2²+3²+n² = ----------------
                       6


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Note: la démonstration avec des cubes vaut, bien entendu, pour n'importe quel cas:

• par exemple, 3 fois 140 cubes auraient été nécessaires pour une démonstration avec la suite 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²=140

• le bloc final aurait été constitué de 420 cubes (3*140) sur une base de 7*8 (56 cubes) et une hauteur de 7,5 cubes.


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