le
théorème
des milieux
théorème
des milieux
page créée le 8 février 2023
(dernière mise à jour: 14 février 2023)
(dernière mise à jour: 14 février 2023)
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contenu de la page
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1. théorème
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2. démonstration
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3. application
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1. théorème
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté parallèlement à un deuxième côté alors cette droite coupe le troisième côté en son milieu.
Réciproquement, si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
De plus, cette droite qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié du troisième côté.
Réciproquement, si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
De plus, cette droite qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié du troisième côté.
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2. démonstration
- 1 -
Soit 1 triangle quelconque ABC ...
- 2 -
dupliqué ...
- 3 -
retourné ...
- 4 -
et jouxté symétriquement au triangle ABC ...
- 5 -
pour former un parallélogramme ...
Rappel: un parallélogramme est un quadrilatère (un polygone à 4 côtés appelé également tétragone) qui a ses côtés opposés parallèles.
En conséquence:
• ses côtés opposés sont de même mesure;
• ses angles opposés sont de même mesure;
• son centre de symétrie est au croisement de ses diagonales;
• ses diagonales et médianes se coupent au centre de symétrie;
• la somme de deux de ses angles consécutifs vaut 180°.
• ses côtés opposés sont de même mesure;
• ses angles opposés sont de même mesure;
• son centre de symétrie est au croisement de ses diagonales;
• ses diagonales et médianes se coupent au centre de symétrie;
• la somme de deux de ses angles consécutifs vaut 180°.
- 6 -
en observant les médianes ef et gh (en jaune pointillé) on constate que ...
- 7 -
la médiane ef est parallèle à CB et que le
segment Of est la moitié de CB ...
- 8 -
et ainsi, dans un triangle, si une droite (ici Of) passe par le milieu d'un coté (ici AB) et
est parallèlle à un deuxième côté (ici CB) , alors ...
- 9 -
elle coupe le troisième côté en son milieu et ...
- 10 -
elle est égale à la moitié du trosième côté (ici CB = 2*S).
- 11 -
Autre cas: ici, le segment S joint les milieux de AC et BC, est parallèle à AB et est égal à la moitié de AB.
- 12 -
Troisième et dernier cas: ici, le segment S joint les milieux de AB et BC, est parallèle à AC et est égal à la moitié de AC.
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3. application
Réponse:
• rappel: le volume d'un cône est (Pi*r²*h)/3
• soit v1 le volume du verre plein
• soit v2 le volume du verre rempli à mi-hauteur
• v1 = (Pi*r²*h)/3
• v2 = (Pi*(r/2)²*h/2)/3 (*) (voir ci-dessous)
• v2 = (Pi*r²/4*h/2)/3
• v2 = (Pi*r²*h*1/8)/3
• v2 = [(Pi*r²*h)/3]*1/8
• v2 = v1*1/8
• v2 = v1/8
• v2 est donc 8 fois plus petit que v1
• 1/8 = x/100 => 8x = 100 => x = 100/8 = 12,5
• le rapport est donc de 12,5%
(*) Application du théorème des milieux: le cône du verre (voir l'image ci-dessous représentant le cône en deux dimensions) est divisé en 2 triangles rectangles égaux. Le côté AC du triangle rectangle ABC est la hauteur du cône. A mi-hauteur de AC une droite (DE) parallèle au côté AB croise le côté BC en son milieu (en appliquant le théorème des milieux). Et surtout, toujours conformément au théorème, la droite DE est la moitié de la droite AB. Comme AB et DE sont les rayons du disque qui entrent dans le calcul des volumes d'un cône, on peut écrire que DE = AB/2 (ou encore que le rayon qui entre dans le calcul de v2 est r/2).
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