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En fonction de sa hauteur, à quelle distance un objet disparaîtra-t-il de l'horizon dû à la rotondité de la Terre ?
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Formule #1
A quelle distance le sommet de la Tour Eiffel disparaîtra-t-il derrière l'horizon: calculer la distance entre A et B.
CALCUL (Pythagore)
• soit le triangle ABC (rectangle en B)
• soit 300m (O,3km) la hauteur (h) de la Tour Eiffel
• le rayon de la Terre est de 6400km
=> BC = 6400
=> AC = 6400 + 0,3 = 6400,3
• AB = √(AC² - BC²)
• AB = √(6400,3² - 6400²)
• AB = √(3840,09)
• AB = 61,97km
Conclusion:
• soit d = distance recherchée
• d = √[(6400 + h)² - 6400²]
• d = √(6400² + 2*6400h + h² - 6400²)
• d = √(2*6400h + h²)
• d = √(12800h + h²)
(h en km)
• soit 300m (O,3km) la hauteur (h) de la Tour Eiffel
• le rayon de la Terre est de 6400km
=> BC = 6400
=> AC = 6400 + 0,3 = 6400,3
• AB = √(AC² - BC²)
• AB = √(6400,3² - 6400²)
• AB = √(3840,09)
• AB = 61,97km
Conclusion:
• soit d = distance recherchée
• d = √[(6400 + h)² - 6400²]
• d = √(6400² + 2*6400h + h² - 6400²)
• d = √(2*6400h + h²)
• d = √(12800h + h²)
(h en km)
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Formule #2
Antoine Odier (1884-1956) est le concepteur du premier avion biplan avec lequel il réussit un vol de 150 mètres (le 27 mai 1909). Devenu ingénieur en chef des Avions BOREL, il conçut toute une série de monoplans à moteur rotatif.
Dans son livre "Souvenirs d'une vieille tige" (paru en 1955), figure une formule (ci-dessous) qui permettait de calculer la distance en kilomètres à partir de laquelle on peut voir le sommet d'un objet d'une hauteur donnée en mètres:
(d en km et h en m)
EXEMPLES (comparaison entre formules)
• soit h = 300m (Tour Eiffel)
• d*d = 12h
• d² = 12h
• d = √(12*300)
• d = √(3600)
• d = 60km (au lieu de 61,97 km)
• soit h = 1247m (altitude du Ballon d'Alsace)
• d = √(12*1247)
• d = √(14964)
• d = 122,32km (au lieu de 126,34km)
• soit h = 20m (un immeuble de 4 étages)
• d = √(12*20)
• d = √(240)
• d = 15,49km (au lieu de 16km)
• d*d = 12h
• d² = 12h
• d = √(12*300)
• d = √(3600)
• d = 60km (au lieu de 61,97 km)
• soit h = 1247m (altitude du Ballon d'Alsace)
• d = √(12*1247)
• d = √(14964)
• d = 122,32km (au lieu de 126,34km)
• soit h = 20m (un immeuble de 4 étages)
• d = √(12*20)
• d = √(240)
• d = 15,49km (au lieu de 16km)
Dans les 3 exemples ci-dessus, la formule #2 fonctionne plutôt bien avec une (petite) erreur de 3%. Alors pourquoi avoir utilisé une formule moins précise que la formule #1 qui existait depuis longtemps ?
La réponse est dans l'excellent livre d'André Deledicq et Mickaël Launay "Dictionnaire amoureux des mathématiques".
Citation du livre:
Antoine Odier était un aviateur, un ingénieur, un homme aux besoins pragmatiques. Sa réponse répond à ses critères. La distance d était mesurée en kilomètre, car c'est en cette unité que se mesurent naturellement les trajets en avion, et la hauteur h en mètre car c'est ainsi que se mesurent le plus aisément les bâtiments ou les reliefs.
Quant à la formule, elle n'avait nul besoin d'être d'une précision absolue: la Terre n'est pas une sphère parfaite et les pionniers de l'aviation avaient bien plus besoin d'ordres de grandeurs pratiques que de mesures au millimètre.
La formule d x d = 12 x h est économe, avec des opérations simples qu'un aviateur peut faire en quelques instants à bord de son biplan. Deux multiplications, une constante simple à retenir, des grandeurs exprimées en unités naturelles, que demander de plus !
(fin de citation)
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Annexe
Antoine Odier et Raoul Vendome fabriqueront un biplan (ci-dessus) appelé "Odier-Vendome". Antoine Odier, qui n'avait jamais piloté, sera aux commandes lors du premier vol de ce biplan le 27 mai 1909 sur le terrain d'Issy-les-Moulineaux.
Il marquera ainsi les débuts de l'aviation avec une date historique: le 25 juillet (1909) Louis Blériot traverse la Manche (38 kilomètres entre Sangatte et Douvres) avec le Blériot XI (ci-dessous) après 37 minutes de vol.
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