1) soit BF la hauteur du triangle rectangle isocèle (orange) ABC:

  • note: la base de la hauteur BF est AC

  • la tangente de l'angle BCF (45°) est le rapport BF/CF

  • comme tan(45°) = 1 alors BF = CF

  • et comme BF est également médiatrice (*) alors BF est la moitié de AC

  (*) c'est une propriété des triangles isocèles




2) soit DE la hauteur du triangle isocèle (bleu) ACD:

  • note: la base de la hauteur DE est AC

  • le sinus de l'angle CAD (30°) est le rapport DE/AD

  • comme sin(30°) = 1/2 alors DE est la moitié de AD

  • et comme AD = AC alors DE est également la moitié de AC




3) BF et DE sont des hauteurs égales et basées sur le côté commun AC:

  • surface du triangle ABC (orange): (AC·BF)/2

  • surface du triangle ACD (bleu): (AC·DE)/2

  • comme BF = DE (démontré ci-dessus) alors (AC·BF)/2 = (AC·DE)/2




4) conclusion:

  • les 2 triangles ont une base identique

  • sur lesquelles les hauteurs respectives sont égales

  • en conséquence de quoi leurs aires sont identiques